📝 题目一
★★★☆☆抛物线中的面积最值
已知：$y=ax^2+bx+c$ 过 $A(-1,0),B(3,0),C(0,3)$。$P$ 在抛物线上方（$x$ 轴上方），$PD\perp x$ 轴于 $D$。
求：（1）解析式；（2）$\triangle PAB$ 面积最大时 $P$ 坐标及 $S_{\max}$。
求：（1）解析式；（2）$\triangle PAB$ 面积最大时 $P$ 坐标及 $S_{\max}$。
A,B,C
P
D
$\triangle PAB$
x=0.60S=0.00
1
设 $y=a(x+1)(x-3)$，代入 $C(0,3)$ 得 $a=-1$。$y=-x^2+2x+3$。
2
$A(-1,0)$，$B(3,0)$，$AB=4$。设 $P(p,-p^2+2p+3)$。
3
$\triangle PAB$ 以 $AB$ 为底，$|y_P|$ 为高：$S=\frac12\cdot AB\cdot|y_P|=2(-p^2+2p+3)$。
4
$S=-2p^2+4p+6$，$p\in(-1,3)$。当 $p=1$ 时 $S$ 最大。
5
$P(1,4)$，$S_{\max}=2\times4=8$。
✅ 答案
$y=-x^2+2x+3$ | $P(1,4)$，$S_{\max}=8$
📝 题目二
★★★★☆直角三角形存在性问题
已知：$y=-\frac12x^2+bx+c$ 过 $A(-1,0),B(4,0)$。点 $M$ 为抛物线上一动点。
求：（1）解析式及对称轴；（2）是否存在 $M$ 使 $\triangle MAB$ 为直角三角形？
求：（1）解析式及对称轴；（2）是否存在 $M$ 使 $\triangle MAB$ 为直角三角形？
A,B
M
$\triangle MAB$
M(2.50,2.63)
1
$y=-\frac12(x+1)(x-4)=-\frac12x^2+\frac32x+2$，对称轴 $x=\frac32$。
2
设 $M(m,y_m)$。$AB=5$。$AM^2=(m+1)^2+y_m^2$，$BM^2=(m-4)^2+y_m^2$。
3
$\angle A=90^\circ$：$BM^2=AB^2+AM^2$。$\angle B=90^\circ$：$AM^2=AB^2+BM^2$。
✅ 思路
勾股定理逆定理分类讨论，注意排除与 A、B 重合的点。
📝 题目三
★★★★★平行四边形 + 路径最值
已知：$y=-x^2+2x+3$ 与 $x$ 轴交于 $A(-1,0),B(3,0)$，与 $y$ 轴交于 $C(0,3)$。$P$ 是抛物线上一动点，$PH\perp x$ 轴于 $H$。
求：（1）顶点 $D$；（2）是否存在 $P$ 使 $P,H,B,C$ 为平行四边形？
求：（1）顶点 $D$；（2）是否存在 $P$ 使 $P,H,B,C$ 为平行四边形？
A,B,C,D
P
H
四边形 PHBC
P(0.20,3.56)检测中...
1
$y=-(x-1)^2+4$，$D(1,4)$。设 $P(p,-p^2+2p+3)$，$H(p,0)$。
2
对角线法：$PH$ 中点 $=$ $BC$ 中点 $\to p=\frac32$，$P(\frac32,\frac{15}{4})$。
3
边法：$PH\parallel BC$ 且 $PH=BC$，或 $PB\parallel CH$ 分类列方程。
✅ 答案
$D(1,4)$ | $P(\frac32,\frac{15}{4})$ 为一解
📋 考点总结
面积最值
$S=\frac12\cdot AB\cdot y_P$，顶点处最大
存在性问题
勾股定理逆定理，分类讨论直角顶点
平行四边形
对角线互相平分，中点坐标公式
路径最值
将军饮马，对称点→两点间线段最短
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